函數間之關係
由上下取整函數的定義，可見
⌊
x
⌋
≤
⌈
x
⌉
,
{\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}
等號若且唯若
x
{\displaystyle x}
為整數，即
⌈
x
⌉
−
⌊
x
⌋
=
{
0
,
若
x
∈
Z
,
1
,
若
x
∉
Z
.
{\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}
實際上，上取整與下取整函數作用於整數
n
{\displaystyle n}
，效果等同恆等函數：
⌊
n
⌋
=
⌈
n
⌉
=
n
.
{\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}
自變數加負號，相當於將上取整與下取整互換，外面再加負號，即：
⌊
x
⌋
+
⌈
−
x
⌉
=
0
,
−
⌊
x
⌋
=
⌈
−
x
⌉
,
−
⌈
x
⌉
=
⌊
−
x
⌋
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0,\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil ,\\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor .\end{aligned}}}
且：
⌊
x
⌋
+
⌊
−
x
⌋
=
{
0
,
若
x
∈
Z
,
−
1
,
若
x
∉
Z
,
{\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\-1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}
⌈
x
⌉
+
⌈
−
x
⌉
=
{
0
,
若
x
∈
Z
,
1
,
若
x
∉
Z
.
{\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}
至於小數部分
{
x
}
=
x
−
⌊
x
⌋
{\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }
，自變數取相反數會使小數部分變成關於1的「補數」：
{
x
}
+
{
−
x
}
=
{
0
,
若
x
∈
Z
,
1
,
若
x
∉
Z
.
{\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}
上取整、下取整、小數部分皆為冪等函數，即函數疊代兩次的結果等於自身：
⌊
⌊
x
⌋
⌋
=
⌊
x
⌋
,
⌈
⌈
x
⌉
⌉
=
⌈
x
⌉
,
{
{
x
}
}
=
{
x
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}
而多個上取整與下取整依次疊代的效果，相當於最內層一個：
⌊
⌈
x
⌉
⌋
=
⌈
x
⌉
,
⌈
⌊
x
⌋
⌉
=
⌊
x
⌋
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor ,\end{aligned}}}
因為外層取整函數實際衹作用在整數上，不帶來變化。